AI 實驗問答 201/64 近似 PI 值

xiaolaba

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問題:

1. 選取兩個8位元無符號整數, 構成分數, 分母必須是2的幂值, 使它最近似PI值, 求誤差百分比, 給出最佳的組合數值範例

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201/64 close to PI

推導過程:

1. 問題理解
   
2. 
   
3. 首先，我需要理解題目的要求：
   
4. 
   
5.     選取兩個8位元無符號整數：這意味著分子和分母都是0到255之間的整數。
   
6. 
   
7.     構成分數，分母必須是2的冪值：分母只能是2的冪次方，如2, 4, 8, 16, ..., 128, 256。
   
8. 
   
9.     使它最近似PI值：這個分數要盡可能接近圓周率π（約3.1415926535）。
   
10. 
    
11.     求誤差百分比：計算這個分數與π的誤差百分比。
    
12. 
    
13.     給出最佳的組合數值範例：找到最接近π的分數組合。
    
14. 
    
15. 分析步驟
    
16. 
    
17.     確定分母的可能值：分母必須是2的冪次方，且是8位元無符號整數，所以分母可以是2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256。
    
18. 
    
19.     對於每個分母，計算最接近π的分子：分子也是8位元無符號整數，範圍是0到255。
    
20. 
    
21.     計算每個分數與π的誤差百分比。
    
22. 
    
23.     選擇誤差最小的分數組合。
    
24. 
    
25. 具體計算
    
26. 1. 分母為2
    
27. 
    
28.     分子範圍：0到255
    
29. 
    
30.     分數範圍：0/2 到 255/2 = 0 到 127.5
    
31. 
    
32.     最接近π的分子：3（因為3/2 = 1.5，4/2 = 2，5/2 = 2.5，...）
    
33. 
    
34.     3/2 = 1.5
    
35. 
    
36.     誤差 = |1.5 - 3.1415926535| = 1.6415926535
    
37. 
    
38.     誤差百分比 = (1.6415926535 / 3.1415926535) * 100 ≈ 52.24%
    
39. 
    
40. 2. 分母為4
    
41. 
    
42.     分子範圍：0到255
    
43. 
    
44.     分數範圍：0/4 到 255/4 = 0 到 63.75
    
45. 
    
46.     最接近π的分子：13（因為13/4 = 3.25，12/4 = 3，14/4 = 3.5）
    
47. 
    
48.     13/4 = 3.25
    
49. 
    
50.     誤差 = |3.25 - 3.1415926535| = 0.1084073465
    
51. 
    
52.     誤差百分比 = (0.1084073465 / 3.1415926535) * 100 ≈ 3.45%
    
53. 
    
54. 3. 分母為8
    
55. 
    
56.     分子範圍：0到255
    
57. 
    
58.     分數範圍：0/8 到 255/8 = 0 到 31.875
    
59. 
    
60.     最接近π的分子：25（因為25/8 = 3.125，26/8 = 3.25）
    
61. 
    
62.     25/8 = 3.125
    
63. 
    
64.     誤差 = |3.125 - 3.1415926535| = 0.0165926535
    
65. 
    
66.     誤差百分比 = (0.0165926535 / 3.1415926535) * 100 ≈ 0.528%
    
67. 
    
68. 4. 分母為16
    
69. 
    
70.     分子範圍：0到255
    
71. 
    
72.     分數範圍：0/16 到 255/16 = 0 到 15.9375
    
73. 
    
74.     最接近π的分子：50（因為50/16 = 3.125，51/16 = 3.1875）
    
75. 
    
76.     50/16 = 3.125
    
77. 
    
78.     誤差 = |3.125 - 3.1415926535| = 0.0165926535
    
79. 
    
80.     誤差百分比 = (0.0165926535 / 3.1415926535) * 100 ≈ 0.528%
    
81. 
    
82. 5. 分母為32
    
83. 
    
84.     分子範圍：0到255
    
85. 
    
86.     分數範圍：0/32 到 255/32 = 0 到 7.96875
    
87. 
    
88.     最接近π的分子：100（因為100/32 = 3.125，101/32 = 3.15625）
    
89. 
    
90.     100/32 = 3.125
    
91. 
    
92.     誤差 = |3.125 - 3.1415926535| = 0.0165926535
    
93. 
    
94.     誤差百分比 = (0.0165926535 / 3.1415926535) * 100 ≈ 0.528%
    
95. 
    
96. 6. 分母為64
    
97. 
    
98.     分子範圍：0到255
    
99. 
    
100.     分數範圍：0/64 到 255/64 = 0 到 3.984375
     
101. 
     
102.     最接近π的分子：201（因為201/64 = 3.140625，202/64 = 3.15625）
     
103. 
     
104.     201/64 = 3.140625
     
105. 
     
106.     誤差 = |3.140625 - 3.1415926535| = 0.0009676535
     
107. 
     
108.     誤差百分比 = (0.0009676535 / 3.1415926535) * 100 ≈ 0.0308%
     
109. 
     
110. 7. 分母為128
     
111. 
     
112.     分子範圍：0到255
     
113. 
     
114.     分數範圍：0/128 到 255/128 = 0 到 1.9921875
     
115. 
     
116.     最接近π的分子：402（但402超過255，所以最大分子是255）
     
117. 
     
118.     255/128 = 1.9921875
     
119. 
     
120.     誤差 = |1.9921875 - 3.1415926535| = 1.1494051535
     
121. 
     
122.     誤差百分比 = (1.1494051535 / 3.1415926535) * 100 ≈ 36.58%
     
123. 
     
124. 8. 分母為256
     
125. 
     
126.     分子範圍：0到255
     
127. 
     
128.     分數範圍：0/256 到 255/256 = 0 到 0.99609375
     
129. 
     
130.     最接近π的分子：804（但804超過255，所以最大分子是255）
     
131. 
     
132.     255/256 = 0.99609375
     
133. 
     
134.     誤差 = |0.99609375 - 3.1415926535| = 2.1454989035
     
135. 
     
136.     誤差百分比 = (2.1454989035 / 3.1415926535) * 100 ≈ 68.29%
     
137. 
     
138. 結果比較
     
139. 分母        分子        分數值        誤差        誤差百分比
     
140. 2        3        1.5        1.6415926535        52.24%
     
141. 4        13        3.25        0.1084073465        3.45%
     
142. 8        25        3.125        0.0165926535        0.528%
     
143. 16        50        3.125        0.0165926535        0.528%
     
144. 32        100        3.125        0.0165926535        0.528%
     
145. 64        201        3.140625        0.0009676535        0.0308%
     
146. 128        255        1.9921875        1.1494051535        36.58%
     
147. 256        255        0.99609375        2.1454989035        68.29%
     
148. 
     
149. 從表中可以看出，當分母為64，分子為201時，分數201/64 = 3.140625，與π的誤差最小，誤差百分比約為0.0308%。
     
150. 結論
     
151. 
     
152. 最佳的組合數值是分子為201，分母為64，分數值為201/64 ≈ 3.140625，誤差百分比約為0.0308%。
     
153. 
     
154. \boxed{分子 = 201, 分母 = 64, 分數 = \frac{201}{64} \approx 3.140625, 誤差百分比 \approx 0.0308%}

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